Randwertproblem

Randwertprobleme (kurz: RWP) auch Randwertaufgabe (kurz: RWA) oder englisch Boundary value problem (kurz: BVP) nennt man in der Mathematik eine wichtige Klasse von Problemstellungen, in denen die Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung (DGL) gesucht werden, welche auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebene Funktionswerte (Randbedingung) annehmen sollen. Der Gegensatz dazu ist das Anfangswertproblem, bei dem nur Werte zu einem anfänglichen Zeitpunkt vorgegeben werden.

Gewöhnliche Differentialgleichung

Dirichlet-Problem

Es seien $ \alpha $ und $ \beta $ reelle Zahlen. Randdaten oder Randbedingungen einer Funktion $ u\colon [a,b]\to \mathbb {R} $ der Form

$ u(a)=\alpha \quad {\text{und}}\quad u(b)=\beta $

heißen Randbedingungen erster Art oder Dirichletsche Randbedingungen. Ist $ \alpha =\beta =0 $ so sprechen wir von homogenen Dirichletschen Randbedingungen. Ansonsten sprechen wir von inhomogenen Randbedingungen.

Gesucht ist also eine Funktion $ u $, welche Lösung des folgenden Problems ist:

$ (N){\begin{cases}f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0,\quad x\in (a,b)&\\u(a)=\alpha ,~u(b)=\beta .&\end{cases}} $

Hierbei ist $ f $ eine vorgeschriebene Funktion und $ \alpha ,\beta $ sind die vorgeschriebenen Randbedingungen. Hinreichende Bedingungen zur Existenz (und Eindeutigkeit) von Lösungen von $ (N) $ findet man in dem Artikel Dirichlet-Problem.

Sturm-Liouville-RWP

Seien $ r,p,q\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} ) $
$ Lu:=(pu')'+qu $ sei ein selbstadjungierter linearer Differentialoperator 2. Ordnung
Randoperatoren mit $ {\alpha _{0}}^{2}+{\alpha _{1}}^{2}>0,~{\beta _{0}}^{2}+{\beta _{1}}^{2}>0 $ seien
$ R_{a}u:=\alpha _{0}u(a)+\alpha _{1}p(a)u'(a) $
$ R_{b}u:=\beta _{0}u(b)+\beta _{1}p(b)u'(b) $

$ (*){\begin{cases}(Lu)(x)=r(x)&\\R_{u}(a)=\eta _{a},~R_{u}(b)=\eta _{b}&\end{cases}} $

heißt Sturm-Liouville-RWP.

Sturm-Liouville-EWP

$ (P_{\lambda }){\begin{cases}(Lu)(x)=\lambda u(x)&\\R_{u}(a)=R_{u}(b)=0&\end{cases}} $

Diejenigen $ \lambda \in \mathbb {R} $, für die $ (P_{\lambda }) $ nicht eindeutig lösbar ist, heißen Eigenwerte. Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.

Partielle Differentialgleichungen

Sei $ \Omega \subset \mathbb {R} ^{d} $ offen und beschränkt, $ f $ sei eine auf $ \Omega $ Lebesgue-messbare Funktion, $ g $ beschreibe die Randvorgaben. Gesucht sind jeweils Lösungen $ u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n} $. Die partielle Differentialgleichung sei gegeben durch den Differentialoperator $ L:u\mapsto L(u) $. Insbesondere führen elliptische Differentialoperatoren immer auf Randwertprobleme, etwa der Laplace-Operator auf die Poisson-Gleichung.

Dirichlet-Problem

Beim Dirichlet-Problem werden Funktionswerte auf dem Rand vorgegeben.

$ L(u)(x)=f(x) $ für $ x\in \Omega , $
$ u(x)=g(x) $ für $ x\in \partial \Omega . $

Neumann-Problem

Anstatt Funktionswerten werden beim Neumann-Problem Ableitungswerte vorgeschrieben.

$ L(u)(x)=f(x) $ für $ x\in \Omega , $
$ {\frac {\partial u}{\partial n}}(x)=g(x) $ für $ x\in \partial \Omega . $

Schiefe Randbedingung

Die schiefe Randbedingung stellt eine Kombination der beiden vorangehenden Probleme dar. Hierbei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand gleich ihrer Normalenableitung auf dem Rand sein.

$ L(u)(x)=f(x) $ für $ x\in \Omega , $
$ u(x)={\frac {\partial u}{\partial n}}(x) $ für $ x\in \partial \Omega . $

Hilfsmittel

Ein wichtiges theoretisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Randwertproblemen sind die Greenschen Funktionen.

In der Numerik werden als Verfahren zur näherungsweisen Lösung z.B. die FDM (finite difference method), die FEM (finite element method), das Schießverfahren und die Mehrzielmethode eingesetzt.

Naturwissenschaftliche Anwendung

Die Modellierung vieler Vorgänge in Natur und Technik baut auf Differentialgleichungen auf. Typische einfache Beispiele für RWP sind

  • schwingende Saite, die an ihren beiden Enden(=Rand) fest eingespannt ist
  • schwingende Membran (der Rand ist hier ein Kreisring)
  • Bewegungsgleichungen von Satelliten bei Keplerbahnen, siehe auch Bahnbestimmung.

Literatur

  • M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme. Oldenbourg Verlag, München und Wien 2004. ISBN 3-486-27606-9

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