SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel bedient sich einer etwas anspruchsvolleren Mathematik. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

Im Folgenden wird eine in ihrer Gesamtgröße N als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen S (susceptible individuals) und reversibel erkrankte und ansteckende Individuen I (infectious individuals). Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert mit einer Proportionalitätskonstante c, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit charakterisiert und einer Gesundungsrate w.


$ {\frac {dS}{dt}}=-cIS+wI $

$ {\frac {dI}{dt}}=cIS-wI $

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: $ u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =wt,r:={\frac {cN}{w}} $

$ {\frac {du_{1}}{d\theta }}=-ru_{1}u_{2}+u_{2} $

$ {\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{1}u_{2}-u_{2} $

$ {\frac {du_{2}}{d\theta }} $ kann nach oben abgeschätzt werden durch: $ {\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2} $.

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt $ ({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}}) $ angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können. Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Literatur

  • Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer