Langevin-Gleichung

Die Langevin-Gleichung (nach Paul Langevin) ist eine stochastische Differentialgleichung, die bei der Beschreibung (makroskopischer) relativ zu den Fluktuationen des Systems langsamer Variablen Verwendung findet. Die Langevin-Gleichung liefert eine mikroskopisch exakte Lösung, sie ist aber auf Grund des stochastischen Rauschterms $$ f(t) $$ nicht mehr deterministisch.

konventionelle Langevin-Gleichung

Die folgende Gleichung geht auf einen heuristischen Ansatz von Paul Langevin zurück:

{\dot {v}}(t)=-\gamma v(t)+f(t)+{\frac {1}{m}}F(x,t)

wobei $\gamma$ ein Reibungskoeffizent und $F(x)=-{\frac {\partial }{\partial x}}U^{ext}(x,t)$ eine konservative Kraft durch ein externes Potential $U^{ext}(x,t)$ , sofern diese im System vorhanden ist. Des Weiteren bezeichnet $$ f(t) $$ die sogenannte stochastische Kraft, die häufig auch Langevin-Kraft genannt wird.

Allgemeine Langevin-Gleichung

Die folgende Gleichung ist eine Verallgemeinerung der konventionellen Langevin-Gleichung:

{\dot {x}}_{i}(t)=h_{i}\left(\{x_{i}(t)\},t\right)+\sum _{j=1}^{M}D_{ij}\left(\{x_{i}(t)\},t\right)\cdot f_{j}(t)

wobei $$ i=1,...,M $$ , also $$ M $$ Variablen, und $\{x_{i}(t)\}$ mit $\{x_{i}(t)\}=\{x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{M}(t)\}$ der Satz der Variablen

Ferner wird $h_{i}$ als eine deterministische Funktion angenommen, sie enthält die Reibung.

Die Größe $D_{ij}$ ist eine Kopplungsmatrix und beschreibt die Korrelationen der verschiedenen Komponenten des stochastischen Rauschens.

Man unterscheidet dabei zwei Fälle:

Falls $D_{ij}=const.$ , dann spricht man von „additivem Rauschen“ (kein rauschinduzierter Drift)
falls $D_{ij}$ tatsächlich von den $x_{i}$ abhängt, dann spricht von „multiplikativem Rauschen“, dies führt auf das sogenannte Ito-Stratonovich-Dilemma

Allgemeiner Ansatz

Grundlegender Ansatz ist hierbei die Addition eines Fluktuationsterms zu einer im Mittelwert gültigen Beziehung:

{\dot {y}}=A(y)

wird so zu

{\dot {y}}=A(y)+L(t)

.

Für das Rauschen $$ L(t) $$ wird angenommen:

$$ L(t) $$ ist als stochastischer Prozess modellierbar.
$\langle L(t)\rangle =0$ , d.h. die Fluktuationen zeigen keine Tendenz und geben im Mittel 0.
$\langle L(t)L(t')\rangle =\Gamma \delta (t-t')$ mit $\delta$ als der Delta-Funktion, sodass überhaupt keine Korrelation über die Zeit stattfindet.

Zusammen mit einer üblicherweise unterstellten Normalverteilung ist $$ L(t) $$ dann ein weißes gaußsches Rauschen.

Zusammenhang zur Fokker-Planck-Gleichung

Anders als die Langevin-Gleichung gibt die Fokker-Planck-Gleichung nur einen statistischen Überblick über viele Realisierungen. Tatsächlich ist aber die FPG ${\frac {\partial }{\partial t}}p(y,t)=-{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big [}A(y,t)p(y,t){\Big ]}+{\frac {\Gamma }{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\Big [}p(x,t){\Big ]}$ äquivalent zu obiger Langevin-Gleichung.

Itō-Stratonovich-Dilemma

Bei nichtlinearem Rauschen ${\dot {y}}=A(y)+C(y)L(t)$ kann die Langevin-Gleichung erst interpretiert werden, wenn eine Entscheidung für einen Typ stochastischer Integrale getroffen wird, was die resultierende FPG bestimmt.

Beispiele

Brownsche Bewegung

Der klassische Fall für die Brownsche Bewegung eines Teilchens in einem Fluid hat nach Stokes-Gesetz und Einstein-Smoluchowski-Beziehung die Gleichung $m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=-\lambda {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}+L(t)$ mit Dämpfungskoeffizient $\lambda$ und $\Gamma =2\lambda k_{B}T$ .

Thermisches Rauschen

Thermisches Rauschen über einem Kondensator folgt ${\frac {dU}{dt}}=-{\frac {U}{RC}}+L(t)$ mit $\Gamma =2k_{B}T/RC^{2}$ .

Siehe auch: Langevin-Funktion

Literatur

Don S. Lemons, Anthony Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" ["Sur la théorie du mouvement brownien," C. R. Acad. Sci. (Paris) 146, 530–533 (1908)], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), DOI:10.1119/1.18725
N.G. Van Kampen: „Stochastic Processes in Physics and Chemistry.“. 3. Auflage. North Holland, 2007.
Schwabl, Franz: Statistische Mechanik. Springer, ISBN 3-540-31095-9
Huang, Kerson: Statistical Mechanics. Wiley, ISBN 978-81-265-1849-4
Huang, Kerson: Introduction to Statistical Physics. CRC Press, ISBN 0-7484-0942-4